线性表 - 栈

# 线性表 - 栈

专栏笔记

# 1. 栈的定义

栈是一种操作受限的线性表。只允许在一端插入和删除数据，后进先出，先进后出就是典型的“栈”结构。

从功能上来说，数组或链表确实可以替代栈，但特定的数据结构是对特定场景的抽象，而且，数组或链表暴露了太多的操作接口，操作上的确灵活自由，但使用时就比较不可控，自然也就更容易出错。

当某个数据集合只涉及在一端插入和删除数据，并且满足后进先出、先进后出的特性，这时我们就应该首选“栈”这种数据结构。

# 2. 如何实现一个栈

实际上，栈既可以用数组来实现，也可以用链表来实现。用数组实现的栈，我们叫作顺序栈，用链表实现的栈，叫作链式栈。

# 2.1 基于数组的顺序栈：

public class ArrayStack {
    private String[] items; // 数组
    private int count; // 栈中的元素个数
    private int n; // 栈的大小
    
    public ArrayStack(int n) {
        this.items = new String[n];
        this.n = n;
        this.count = 0;
    }
    
    // 入栈操作
    public boolean push(String item) {
        // 数组空间不够，入栈失败
        if (count == n) {
            return false;
        }
        // 入栈
        items[count] = item;
        // 栈的元素个数加 1
        ++count;
        return true;
    }
    
    public String pop() {
        // 如果是空栈则直接返回 null
        if (count == 0) {
            return null;
        }
        String tmp = items[count - 1];
        --count;
        return tmp;
    }
}

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# 2.2 栈的时间、空间复杂度

不管是顺序栈还是链式栈，存储数据只需要一个大小为 n 的数组就够了。在入栈和出栈过程中，只需要一两个临时变量存储空间，所以空间复杂度是 O(1)。

注意，这里存储数据需要一个大小为 n 的数组，并不是说空间复杂度就是 O(n)。因为，这 n 个空间是必须的，无法省掉。所以说空间复杂度的时候，是指除了原本的数据存储空间外，算法运行还需要额外的存储空间。

时间复杂度也不难。不管是顺序栈还是链式栈，入栈、出栈只涉及栈顶个别数据的操作，所以时间复杂度都是 O(1)。

# 2.3 支持动态扩容的顺序栈

刚才那个基于数组实现的栈，是一个固定大小的栈，也就是说，在初始化栈时需要事先指定栈的大小。当栈满之后，就无法再往栈里添加数据了。尽管链式栈的大小不受限，但要存储 next 指针，内存消耗相对较多。

实现一个支持动态扩容的栈，只需要底层依赖一个支持动态扩容的数组就可以了。当栈满了之后，就申请一个更大的数组，将原来的数据搬移到新数组中。如下图：

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对于出栈操作来说，不会涉及内存的重新申请和数据的搬移，所以出栈的时间复杂度仍然是 O(1)。但是，对于入栈操作来说，情况就不一样了。当栈中有空闲空间时，入栈操作的时间复杂度为 O(1)。但当空间不够时，就需要重新申请内存和数据搬移，所以时间复杂度就变成了 O(n)。也就是说，对于入栈操作来说，最好情况时间复杂度是 O(1)，最坏情况时间复杂度是 O(n)。入栈操作的平均情况下的时间复杂度可以用摊还分析法来分析。

为了分析的方便，需要事先做一些假设和定义：

栈空间不够时，重新申请一个是原来大小两倍的数组
假设只有入栈操作没有出栈操作
定义不涉及内存搬移的入栈操作为 simple-push 操作，时间复杂度为 O(1)

如果当前栈大小为 K，并且已满，当再有新的数据要入栈时，就需要重新申请 2 倍大小的内存，并且做 K 个数据的搬移操作，然后再入栈。但是，接下来的 K-1 次入栈操作，都不需要再重新申请内存和搬移数据，所以这 K-1 次入栈操作都只需要一个 simple-push 操作就可以完成。如下图：

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可以看出来，这 K 次入栈操作，总共涉及了 K 个数据的搬移，以及 K 次 simple-push 操作。将 K 个数据搬移均摊到 K 次入栈操作，那每个入栈操作只需要一个数据搬移和一个 simple-push 操作。以此类推，入栈操作的均摊时间复杂度就为 O(1)。

通过这个例子也印证了前面讲到的，均摊时间复杂度一般都等于最好情况时间复杂度。因为在大部分情况下，入栈操作的时间复杂度 O 都是 O(1)，只有在个别时刻才会退化为 O(n)，所以把耗时多的入栈操作的时间均摊到其他入栈操作上，平均情况下的耗时就接近 O(1)。

# 3. 栈的应用

# 3.1 栈在函数调用中的应用

操作系统给每个线程分配了一块独立的内存空间，这块内存被组织成“栈”这种结构, 用来存储函数调用时的临时变量。每进入一个函数，就会将临时变量作为一个栈帧入栈，当被调用函数执行完成，返回之后，将这个函数对应的栈帧出栈。以下面代码为例：

int main() {
   int a = 1; 
   int ret = 0;
   int res = 0;
   ret = add(3, 5);
   res = a + ret;
   printf("%d", res);
   reuturn 0;
}

int add(int x, int y) {
   int sum = 0;
   sum = x + y;
   return sum;
}

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main() 函数调用了 add() 函数，获取计算结果，并且与临时变量 a 相加，最后打印 res 的值。下面图中显示的是，在执行到 add() 函数时，函数调用栈的情况。

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函数调用要用“栈”来保存临时变量的原因：

不一定非要用栈来保存临时变量，只不过如果这个函数调用符合后进先出的特性，用栈这种数据结构来实现，是最顺理成章的选择。从调用函数进入被调用函数，对于数据来说，变化的是作用域。所以根本上，只要能保证每进入一个新的函数，都是一个新的作用域就可以。而要实现这个，用栈就非常方便。在进入被调用函数的时候，分配一段栈空间给这个函数的变量，在函数结束的时候，将栈顶复位，正好回到调用函数的作用域内。

# 3.2 栈在表达式求值中的应用

为了方便解释，将算术表达式简化为只包含加减乘除四则运算，比如： $34+13*9+44-12/3$ 。

编译器就是通过两个栈来实现的。其中一个保存操作数的栈，另一个是保存运算符的栈。从左向右遍历表达式，当遇到数字，就直接压入操作数栈；当遇到运算符，就与运算符栈的栈顶元素进行比较。

如果比运算符栈顶元素的优先级高，就将当前运算符压入栈；如果比运算符栈顶元素的优先级低或者相同，从运算符栈中取栈顶运算符，从操作数栈的栈顶取 2 个操作数，然后进行计算，再把计算完的结果压入操作数栈，继续比较。

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# 3.3 栈在括号匹配中的应用

假设表达式中只包含三种括号，圆括号 ()、方括号[]和花括号{}，并且它们可以任意嵌套。比如，{[] ()[{}]}或[{()}([])]等都为合法格式，而{[}()]或[({)]为不合法的格式。

可以用栈来保存未匹配的左括号，从左到右依次扫描字符串。当扫描到左括号时，则将其压入栈中；当扫描到右括号时，从栈顶取出一个左括号。如果能够匹配，比如“(”跟“)”匹配，“[”跟“]”匹配，“{”跟“}”匹配，则继续扫描剩下的字符串。如果扫描的过程中，遇到不能配对的右括号，或者栈中没有数据，则说明为非法格式。

当所有的括号都扫描完成之后，如果栈为空，则说明字符串为合法格式；否则，说明有未匹配的左括号，为非法格式。

# 3.4 使用栈实现浏览器的前进、后退功能

用两个栈就可以非常完美地解决这个问题。

使用两个栈，X 和 Y，把首次浏览的页面依次压入栈 X，当点击后退按钮时，再依次从栈 X 中出栈，并将出栈的数据依次放入栈 Y。当点击前进按钮时，依次从栈 Y 中取出数据，放入栈 X 中。当栈 X 中没有数据时，那就说明没有页面可以继续后退浏览了。当栈 Y 中没有数据，那就说明没有页面可以点击前进按钮浏览了。

比如顺序查看了 a，b，c 三个页面，就依次把 a，b，c 压入栈，这个时候，两个栈的数据就是这个样子：

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